Question

16．已知双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$的左、右焦点分别为F₁、F₂，过F₂的直线交双曲线于P，Q两点且PQ⊥PF₁，若|PQ|=λ|PF₁|，$\frac{5}{12}≤λ≤\frac{4}{3}$，则双曲线离心率e的取值范围为（　　）

• A． $（1，\frac{{\sqrt{10}}}{2}]$
• B． $（1，\frac{{\sqrt{37}}}{5}]$
• C． $[\frac{{\sqrt{37}}}{5}，\frac{{\sqrt{10}}}{2}]$
• D． $[\frac{{\sqrt{10}}}{2}，+∞）$

Answer 1

分析 由PQ⊥PF₁，|PQ|=λ|PF₁|，可得|QF₁|=$\sqrt{1+{λ}^{2}}$|PF₁|，由双曲线的定义可得2a=|PF₁|-|PF₂|=|QF₁|-|QF₂|，解得|PF₁|=$\frac{4a}{1-λ+\sqrt{1+{λ}^{2}}}$，|PF₂|=|PF₁|-2a，由勾股定理可得：2c=|F₁F₂|=$\sqrt{|P{F}_{1}{|}^{2}+|P{F}_{2}{|}^{2}}$，代入化简．令t=1-λ+$\sqrt{1+{λ}^{2}}$，则上式化为8（$\frac{1}{t}$-$\frac{1}{4}$）²+$\frac{1}{2}$，由t关于λ单调递减，可得$\frac{4}{3}$≤t＜$\frac{5}{3}$，即$\frac{3}{5}$≤$\frac{1}{t}$≤$\frac{3}{4}$，由二次函数的单调性解出即可．

解答 解：可设P，Q为双曲线右支上一点，
由PQ⊥PF₁，|PQ|=λ|PF₁|，
在直角三角形PF₁Q中，|QF₁|=$\sqrt{|P{F}_{1}{|}^{2}+|PQ{|}^{2}}$=$\sqrt{1+{λ}^{2}}$|PF₁|，
由双曲线的定义可得：2a=|PF₁|-|PF₂|=|QF₁|-|QF₂|，
由|PQ|=λ|PF₁|，即有|PF₂|+|QF₂|=λ|PF₁|，
即为|PF₁|-2a+$\sqrt{1+{λ}^{2}}$|PF₁|-2a=λ|PF₁|，
∴（1-λ+$\sqrt{1+{λ}^{2}}$）|PF₁|=4a，
解得|PF₁|=$\frac{4a}{1-λ+\sqrt{1+{λ}^{2}}}$．
|PF₂|=|PF₁|-2a=$\frac{2a（1+λ-\sqrt{1+{λ}^{2}）}}{1-λ+\sqrt{1+{λ}^{2}}}$，
由勾股定理可得：2c=|F₁F₂|=$\sqrt{|P{F}_{1}{|}^{2}+|P{F}_{2}{|}^{2}}$，
即有（$\frac{4a}{1-λ+\sqrt{1+{λ}^{2}}}$）²+[$\frac{2a（1+λ-\sqrt{1+{λ}^{2}）}}{1-λ+\sqrt{1+{λ}^{2}}}$]²=4c²，
即为$\frac{4}{（1-λ+\sqrt{1+{λ}^{2}}）^{2}}$+$\frac{（1+λ-\sqrt{1+{λ}^{2}}）^{2}}{（1-λ+\sqrt{1+{λ}^{2}}）^{2}}$=e²．
令t=1-λ+$\sqrt{1+{λ}^{2}}$，则上式化为e²=$\frac{4+（t-2）^{2}}{{t}^{2}}$=8（$\frac{1}{t}$-$\frac{1}{4}$）²+$\frac{1}{2}$，
由t=1-λ+$\sqrt{1+{λ}^{2}}$=1+$\frac{1}{\sqrt{1+{λ}^{2}}+λ}$，
且$\frac{5}{12}$≤λ≤$\frac{4}{3}$，
由t关于λ单调递减，可得$\frac{4}{3}$≤t＜$\frac{5}{3}$
即$\frac{3}{5}$≤$\frac{1}{t}$≤$\frac{3}{4}$，
由$\frac{1}{4}$∉[$\frac{3}{5}$，$\frac{3}{4}$]，可得e²在[$\frac{3}{5}$，$\frac{3}{4}$]递增，
$\frac{37}{25}$≤e²≤$\frac{5}{2}$，解得$\frac{\sqrt{37}}{5}$≤e≤$\frac{\sqrt{10}}{2}$．
可得椭圆离心率的取值范围是[$\frac{\sqrt{37}}{5}$，$\frac{\sqrt{10}}{2}$]．
故选：C．

点评 本题考查了双曲线的定义、方程及其性质，考查勾股定理、函数的单调性的运用，以及换元法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．