Question

4．在（2+$\sqrt{x}$-$\frac{1}{{x}^{2016}}$）¹⁰的展开式中，x⁴项的系数为180（结果用数值表示）．

Answer 1

分析 通过分析只需考虑（2+$\sqrt{x}$-$\frac{1}{{x}^{2016}}$）¹⁰展开式中的第二项，进而只需考查$（2+\sqrt{x}）^{10}$的展开式中通项T_k+1=${C}_{10}^{k}$2^10-k•${x}^{\frac{k}{2}}$中含x⁴的项，比较可得k=8，进而计算可得结论．

解答 解：（2+$\sqrt{x}$-$\frac{1}{{x}^{2016}}$）¹⁰=$[（2+\sqrt{x}）-\frac{1}{{x}^{2016}}]^{10}$=$\sum_{r=0}^{10}$$（2+\sqrt{x}）^{10-r}$$（-\frac{1}{{x}^{2016}}）^{r}$，
依题意，只需考虑r=0时，即只需$（2+\sqrt{x}）^{10}$中x⁴项的系数，
∵$（2+\sqrt{x}）^{10}$的展开式中通项T_k+1=${C}_{10}^{k}$2^10-k•${x}^{\frac{k}{2}}$，
令${x}^{\frac{k}{2}}$=x⁴，可得k=8，
∴所求系数为${C}_{10}^{8}$2^10-8=180，
故答案为：180．

点评 本题考查二项式定理的应用，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．