Question

3．如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，点O是对角线AC与BD的交点，AB=2，∠BAD=60°，M是PD的中点．
（Ⅰ）求证：OM∥平面PAB；
（Ⅱ）平面PBD⊥平面PAC；
（Ⅲ）当三棱锥C-PBD的体积等于$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$时，求PA的长．

Answer 1

分析 （I）由中位线定理可知OM∥PB，故而OM∥平面PAB；
（II）由菱形的性质得BD⊥AC，由PA⊥平面ABCD得BD⊥PA，故BD⊥平面PAC，于是平面PBD⊥平面PAC；
（III）根据V_C-PBD=V_P-BCD，计算出S_△BCD代入体积公式得出棱锥的高PA．

解答 证明：（Ⅰ）在△PBD中，因为O，M分别是BD，PD的中点
所以OM∥PB．又OM?平面PAB，PB?平面PAB，
所以OM∥平面PAB．
（Ⅱ）因为底面ABCD是菱形，
所以BD⊥AC．
因为PA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，
所以PA⊥BD．又AC∩PA=A，
所以BD⊥平面PAC．
又BD?平面PBD，
所以平面PBD⊥平面PAC．
解：（Ⅲ）因为底面ABCD是菱形，且AB=2，∠BAD=60°，
所以S_△BCD=$\frac{1}{2}×{2}^{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$．
又V_C-PBD=V_P-BCD，三棱锥P-BCD的高为PA，
所以$\frac{1}{3}×\sqrt{3}×PA=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
解得$PA=\frac{3}{2}$．

点评 本题考查了线面平行，面面垂直的判定，棱锥的体积计算，属于基础题．