Question

17．已知点O为三角形ABC内一点，$\overrightarrow{OA}+2\overrightarrow{OB}+3\overrightarrow{OC}=\overrightarrow 0$，则$\frac{{{S_{△ABC}}}}{{{S_{△AOC}}}}$=3．

Answer 1

分析 可作出图形，取BC的中点D，AC的中点E，并连接OA，OB，OC，OD，OE，根据条件可以得到$\overrightarrow{OE}=-2\overrightarrow{OD}$，从而得出DE为△ABC的中位线，这样即可得到AB=3OE，从而便有$\frac{{S}_{△ABC}}{{S}_{△AOC}}=3$．

解答 解：如图，取BC中点D，AC中点E，连接OA，OB，OC，OD，OE；

$\overrightarrow{OA}+2\overrightarrow{OB}+3\overrightarrow{OC}=（\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}）$$+2（\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}）$
=$2\overrightarrow{OE}+4\overrightarrow{OD}$
=$\overrightarrow{0}$
∴$\overrightarrow{OE}=-2\overrightarrow{OD}$；
∴D，O，E三点共线，即DE为△ABC的中位线；
∴DE=$\frac{3}{2}$OE，AB=2DE；
∴AB=3OE；
∴$\frac{{S}_{△ABC}}{{S}_{△AOC}}=3$．
故答案为：3．

点评 考查向量加法的平行四边形法则，共线向量基本定理，以及向量的数乘运算，向量数乘的几何意义，三角形中位线的定义及性质，三角形的面积公式．