Question

【题目】已知函数f（x）的图象与函数y=x3﹣3x2+2的图象关于点（ ，0）对称，过点（1，t）仅能作曲线y=f（x）的一条切线，则实数t的取值范围是（ ）
A.（﹣3，﹣2）
B.[﹣3，﹣2]
C.（﹣∞，﹣3）∪（﹣2，+∞）
D.（﹣∞，﹣3）∪[﹣2，+∞）

Answer 1

【答案】C
【解析】解：函数f（x）的图象与函数y=x3﹣3x2+2的图象关于点（ ，0）对称， 设（x，y）为y=f（x）图象上的点，其对称点为（1﹣x，﹣y），且在函数y=x3﹣3x2+2的图象上，
可得﹣y=（1﹣x）3﹣3（1﹣x）2+2，即为y=f（x）=（x﹣1）3+3（1﹣x）2﹣2，
设切点为（m，n），则n=（m﹣1）3+3（1﹣m）2﹣2，
f（x）的导数为f′（x）=3（x﹣1）2+6（x﹣1）=3（x2﹣1），
可得切线的方程为y﹣n=3（m2﹣1）（x﹣m），
代入点（1，t），可得t﹣n=3（m2﹣1）（1﹣m），
化简可得t+3=3m2﹣2m3 ，
由g（m）=3m2﹣2m3 ，
g′（m）=6m﹣6m2=6m（1﹣m），
当0＜m＜1时，g′（m）＞0，g（m）递增；当m＜0或m＞1时，g′（m）＜0，g（m）递减．
则g（m）在m=0处取得极小值0，在m=1处取得极大值1，
由过点（1，t）仅能作曲线y=f（x）的一条切线，
可得t+3=3m2﹣2m3只有一解，
则t+3＞1或t+3＜0，
解得t＞﹣2或t＜﹣3．
故选：C．