【题目】已知函数f(x)的图象与函数y=x3﹣3x2+2的图象关于点( ,0)对称,过点(1,t)仅能作曲线y=f(x)的一条切线,则实数t的取值范围是( )
A.(﹣3,﹣2)
B.[﹣3,﹣2]
C.(﹣∞,﹣3)∪(﹣2,+∞)
D.(﹣∞,﹣3)∪[﹣2,+∞)
【答案】C
【解析】解:函数f(x)的图象与函数y=x3﹣3x2+2的图象关于点( ,0)对称, 设(x,y)为y=f(x)图象上的点,其对称点为(1﹣x,﹣y),且在函数y=x3﹣3x2+2的图象上,
可得﹣y=(1﹣x)3﹣3(1﹣x)2+2,即为y=f(x)=(x﹣1)3+3(1﹣x)2﹣2,
设切点为(m,n),则n=(m﹣1)3+3(1﹣m)2﹣2,
f(x)的导数为f′(x)=3(x﹣1)2+6(x﹣1)=3(x2﹣1),
可得切线的方程为y﹣n=3(m2﹣1)(x﹣m),
代入点(1,t),可得t﹣n=3(m2﹣1)(1﹣m),
化简可得t+3=3m2﹣2m3 ,
由g(m)=3m2﹣2m3 ,
g′(m)=6m﹣6m2=6m(1﹣m),
当0<m<1时,g′(m)>0,g(m)递增;当m<0或m>1时,g′(m)<0,g(m)递减.
则g(m)在m=0处取得极小值0,在m=1处取得极大值1,
由过点(1,t)仅能作曲线y=f(x)的一条切线,
可得t+3=3m2﹣2m3只有一解,
则t+3>1或t+3<0,
解得t>﹣2或t<﹣3.
故选:C.
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【题目】我市电视台为了解市民对我市举办的春节文艺晚会的关注情况,组织了一次抽样调查,下面是调查中
的其中一个方面:
按类型用分层抽样的方法抽取份问卷,其中属“看直播”的问卷有
份.
(1)求的值;
(2)为了解市民为什么不看的一些理由,用分层抽样的方法从“不看”问卷中抽取一个容量为的样本,将该样本看成一个总体,从中任取
份,求至少有
份是女性问卷的概率;
(3)现从(2)所确定的总体中每次都抽取1份,取后不放回,直到确定出所有女性问卷为止,记所要抽取的次数为,直接写出
的所有可能取值(无需推理).
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【题目】对于函数有以下说法:
①是
的极值点.
②当时,
在
上是减函数.
③的图像与
处的切线必相交于另一点.
④当时,
在
上是减函数.
其中说法正确的序号是_______________.
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【题目】已知6只小白鼠有1只被病毒感染,需要通过对其化验病毒DNA来确定是否感染.下面是两种化验方案:方案甲:逐个化验,直到能确定感染为止.方案乙:将6只分为两组,每组三个,并将它们混合在一起化验,若存在病毒DNA,则表明感染在这三只当中,然后逐个化验,直到确定感染为止;若结果不含病毒DNA,则在另外一组中逐个进行化验.
(1)求依据方案乙所需化验恰好为2次的概率.
(2)首次化验化验费为10元,第二次化验化验费为8元,第三次及其以后每次化验费都是6元,列出方案甲所需化验费用的分布列,并估计用方案甲平均需要化验费多少元?
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【题目】如图,设椭圆的中心为原点,长轴在
轴上,上顶点为
,左、右焦点分别为
,线段
的中点分别为
,且
是面积为
的直角三角形.
(1)求该椭圆的离心率和标准方程;
(2)过作直线交椭圆于
两点,使
,求
的面积.
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【题目】(本小题满分12分)如图,曲线由上半椭圆
和部分抛物线
连接而成,
的公共点为
,其中
的离心率为
.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)过点的直线
与
分别交于
(均异于点
),若
,求直线
的方程.
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【题目】已知函数是定义在
上的偶函数,且当
时,
.
(1)已画出函数在
轴左侧的图像,如图所示,请补出完整函数
的图像,并根据图像写出函数
的增区间;
⑵写出函数的解析式和值域.
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【题目】将函数 的图象向左平移
个单位,再向下平移4个单位,得到函数g(x)的图象,则函数f(x)的图象与函数g(x)的图象( )
A.关于点(﹣2,0)对称
B.关于点(0,﹣2)对称
C.关于直线x=﹣2对称
D.关于直线x=0对称
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【题目】已知圆:
(其中
为圆心)上的每一点横坐标不变,纵坐标变为原来的一半,得到曲线
.
(1)求曲线的方程;
(2)若点为曲线
上一点,过点
作曲线
的切线交圆
于不同的两点
(其中
在
的右侧),已知点
.求四边形
面积的最大值.
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