Question

4．如图：在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，PA=AD=2．
（1）求异面直线PC与AB所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；
（2）求点E、F分别是棱AD和PC的中点，求证：EF⊥平面PBC．

Answer 1

分析 （1）以点A为原点，以AB方向为x轴正方向，AD方向为y轴正方向，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线PC与AB所成角的大小．
（2）求出$\overrightarrow{EF}=（1，0，1）$，$\overrightarrow{BC}=（0，2，0）$，$\overrightarrow{PC}=（2，2，-2）$，利用向量法能证明EF⊥平面PBC．

解答 解：（1）以点A为原点，以AB方向为x轴正方向，AD方向为y轴正方向，建立空间直角坐标系，
则P（0，0，2），A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0）
所以，$\overrightarrow{PC}=（2，2，-2）$，$\overrightarrow{AB}=（2，0，0）$，
设$\overrightarrow{PC}$，$\overrightarrow{AB}$的夹角为α，
则$cosα=\frac{{\overrightarrow{PC}•\overrightarrow{AB}}}{{|\overrightarrow{PC}|•|\overrightarrow{AB}|}}=\frac{4}{{2\sqrt{3}•2}}=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，
所以$\overrightarrow{PC}$，$\overrightarrow{AB}$的夹角为$arccos\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，
即异面直线PC与AB所成角的大小为$arccos\frac{{\sqrt{3}}}{3}$．
证明：（2）因为点E、F分别是棱AD和PC的中点，
可得E（0，1，0），F（1，1，1），所以$\overrightarrow{EF}=（1，0，1）$，
又$\overrightarrow{BC}=（0，2，0）$，$\overrightarrow{PC}=（2，2，-2）$，
计算可得$\overrightarrow{EF}•\overrightarrow{PC}=0$，$\overrightarrow{EF}•\overrightarrow{BC}=0$，
所以，EF⊥PC，EF⊥BC，又PC∩BC=C，
所以EF⊥平面PBC．

点评 本题考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间思维能力，考查化归转化思想、数形结合思想，是中档题．