Question

【题目】已知函数f（x）=ex﹣ax2﹣bx﹣1，其中a，b∈R，e=2.718 28…为自然对数的底数．
（1）设g（x）是函数f（x）的导函数，求函数g（x）在区间[0，1]上的最小值；
（2）若f（1）=0，函数f（x）在区间（0，1）内有零点，证明：e﹣2＜a＜1．

Answer 1

【答案】
（1）解：由f（x）=ex﹣ax2﹣bx﹣1，得g（x）=f′（x）=ex﹣2ax﹣b，所以g′（x）=ex﹣2a．

当x∈[0，1]时，g′（x）∈[1﹣2a，e﹣2a]．

当a≤ 时，g′（x）≥0，所以g（x）在[0，1]上单调递增，

因此g（x）在[0，1]上的最小值是g（0）=1﹣b；

当a≥ 时，g′（x）≤0，所以g（x）在[0，1]上单调递减，

因此g（x）在[0，1]上的最小值是g（1）=e﹣2a﹣b；

当 ＜a＜ 时，令g′（x）=0，得x=ln（2a）∈（0，1），

所以函数g（x）在区间[0，ln（2a）]上单调递减，在区间（ln（2a），1]上单调递增，

于是，g（x）在[0，1]上的最小值是g（ln（2a））=2a﹣2aln（2a）﹣b．

综上所述，当a≤ 时，g（x）在[0，1]上的最小值是g（0）=1﹣b；

当 ＜a＜ 时，g（x）在[0，1]上的最小值是g（ln（2a））=2a﹣2aln（2a）﹣b；

当a≥ 时，g（x）在[0，1]上的最小值是g（1）=e﹣2a﹣b

（2）证明：设x0为f（x）在区间（0，1）内的一个零点，则由f（0）=f（x0）=0可知，

f（x）在区间（0，x0）上不可能单调递增，也不可能单调递减．

则g（x）不可能恒为正，也不可能恒为负．

故g（x）在区间（0，x0）内存在零点x1．

同理g（x）在区间（x0，1）内存在零点x2．故g（x）在区间（0，1）内至少有两个零点，

由（1）知，当a≤ 时，g（x）在[0，1]递增，故g（x）在（0，1）内至多有1个零点，

当a≥ 时，g（x）在[0，1]递减，故g（x）在（0，1）内至多有1个零点，都不合题意，

所以 ＜a＜ ，

此时，g（x）在区间[0，ln（2a）]递减，在区间（ln（2a），1）递增，

因此x1∈（0，ln（2a）），x2∈（ln（2a），1），必有：g（0）=1﹣b＞0，g（1）=e﹣2a﹣b＞0，

由f（1）=0，得a+b=e﹣1＜2，有g（0）=a﹣e+2＞0，g（1）=1﹣a＞0，解得：e﹣2＜a＜1，

所以函数f（x）在区间（0，1）内有零点时，e﹣2＜a＜1．

【解析】（1）先求出函数f（x）的导数，通过讨论a的范围得出函数的单调区间，从而求出函数的最值；（2）设x0为f（x）在区间（0，1）内的一个零点，通过讨论a的范围，得出a的取值．