Question

已知集合M={x|1≤4^x-3•2^x+3≤7}，
（1）求集合M；
（2）求函数f（x）=4 x-

1

2

-2^x+1+5，x∈M的值域及单增区间？

Answer 1

考点：函数的值域,函数单调性的判断与证明

专题：函数的性质及应用

分析：（1）把2^x看做一个整体，求出一元二次不等式的解集根据指数函数的增减性即可．
（2）令t=2^x，由x∈M，求出t的范围，则g（t）=

t2

2

-2t+5=

1

2

(t-2)2+3，进而根据二次函数的图象和性质，指数函数的图象和性质，结合复合函数同增异减的原则，可得函数f（x）的值域和单调增区间．

解答： （1）解：由1≤4^x-3•2^x+3≤7，
∴1≤（2^x）²-3•2^x+3≤7，∴

(2x)2-3•2x+2≥0 (2x)2-3•2x-4≤0

解得0＜2^x≤1或2≤2^x≤4
所以x≤0或1≤x≤2，
故M={x|x≤0或1≤x≤2}
（2）解：f（x）=

(2x)2

2

-2•2x+5，
令t=2^x，∵x≤0或1≤x≤2，∴t∈（0，1]∪[2，4]
g（t）=

t2

2

-2t+5=

1

2

(t-2)2+3，t∈（0，1]∪[2，4]
∴函数的值域[3，5]
∵t=2^x在x∈[1，2]为增函数，而g（t）在[2，4]为增函数，
∴f（x）在[1，2]上为增函数．
综上，f（x）的值域为[3，5]，单增区间为[1，2]

点评：考查学生整体看待的数学思想，应用指数函数性质的能力，以及一元二次不等式解集的求法．