Question

【题目】已知函数 ．
（1）设函数h（x）=g（x）﹣f（x），求函数h（x）在区间[2，4]上的值域；
（2）定义min（p，q）表示p，q中较小者，设函数H（x）=min{f（x），g（x）}（x＞0）， ①求函数H（x）的单调区间及最值；
②若关于x的方程H（x）=k有两个不同的实根，求实数k的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵函数f（x）在区间（0，+∞）上单调递减，

函数g（x）在区间（0，+∞）上单调递增，

∴函数h（x）在区间[2，4]上单调递增，

故h（2）≤h（x）≤h（4），即0≤h（x）≤13，

所以函数在区间[2，4]上的值域为[0，13]

（2）解：①在同一坐标系中，作出f（x），g（x）的图象如图所示，

根据题意得，H（x）= ，

由（1）知，y=2x在区间（0，2]上单调递增，

在区间上单调递减，

故H（x）max=H（2）=4．

∴函数H（x）的单调递增区间为（0，2]，单调递减区间为（2，+∞），

H（x）有最大值4，无最小值．

②∵ 在[2，+∞）上单调递减，∴ ，

又g（x）=2x在（0，2]上单调递增，∴1＜2x≤4，

∴要使方程H（x）=k有两个不同的实根，

则需满足2＜k＜4，

即实数k的取值范围是（2，4）

【解析】（1）根据函数f（x），g（x）的单调性，求出h（x）的单调性，求出函数h（x）的值域即可；（2）①根据函数f（x），g（x）的图象求出H（x）的最大值，②根据H（x）的范围，求出k的范围即可．
【考点精析】利用利用导数研究函数的单调性对题目进行判断即可得到答案，需要熟知一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减．