Question

【题目】设正整数m，n满足，，，，…，为集各的n元子集，且；

（1）若，满足；

（i）求证：；

（ii）求满足条件的集合的个数；

（2）若中至多有一个元素，求证：.

Answer 1

【答案】（1）（i）证明见解析；（1）（ii）；（2）证明见解析

【解析】

（1）（i）设中的个元素满足，则得到，得到证明.

（1）（ii）从个元素中选不相邻的个元素，即等价于将剩余的个元素排成一排，

形成空，共有种放法，得到答案.

（2）根据题意知，没有相同的二元集合，中所有的二元集合个数为，

的二元集合个数为，故，得到证明.

（1）（i）设中的个元素满足，，满足，

故，故.

（1）（ii）从个元素中选不相邻的个元素，即等价于将剩余的个元素排成一排，

形成空，共有种放法，故共有个集合.

（2）根据题意知，没有相同的二元集合，中所有的二元集合个数为，

的二元集合个数为，故，即.