Question

【题目】已知函数，.

（1）若曲线在处的切线恰与曲线相切，求a的值；

（2）不等式对一切正实数x恒成立，求a的取值范围；

（3）已知，若函数在上有且只有一个零点，求a的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）或或.

【解析】

（1）求出切线方程后，再与二次函数联立，利用判别式为0，即可求得的值；

（2）将问题转化为对任意的恒成立，再利用参变分离和构造函数，即可得答案；

（3）由题意得，，对分和两种情况讨论，从而求得的取值范围.

（1）因为，所以，又切点为，

因此曲线在处的切线为，

将与联立，消去y得：，

由题意知，

解得.

（2）因为，所以，

即，

设，

则，

当时，，单调递减；

当时，，单调递增；

因此，

所以，即.

（3），，

①当时，

当时，，单调递减；

当时，，单调递增；

所以，

当，即时，

因为，

又，

所以在上存在唯一的零点，

因此在上无零点，所以即，解得

又，所以.

当，即时，有唯一的零点.

当，即时，恒成立，所以无零点.

②当时，

当时，，单调递增；

当时，，单调递减；

当时，，单调递增；

因为，所以当，无零点.

设，则，于是，

又，

所以在上存在唯一的零点，即在上有且只有一个零点，

综上可知，或或.