Question

过双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的右焦点F作垂直于x轴的直线交双曲线于A，B两点，左顶点C在以AB为直径的圆外，则离心率e的取值范围是（　　）

• A、（2，+∞）
• B、（1，2）
• C、（

  3

  2

  ，+∞）
• D、（1，

  3

  2

  ）

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1，由左顶点C在以AB为直径的圆的外部，得|MF|＞|AF|，将其转化为关于a、b、c的式子，再结合平方关系和离心率的公式，化简整理得e²-e-2＜0，解之即可得到此双曲线的离心率e的取值范围．

解答： 解：由双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）
则直线AB方程为：x=c，其中c=

a2+b2

，
因此，设A（c，y₀），B（c，-y₀），
∴

c2

a2

-

y02

b2

=1，解之得y₀=

b2

a

，得|AF|=

b2

a

，
∵双曲线的左顶点C（-a，0）在以AB为直径的圆外部，
∴|MF|＞|AF|，即a+c＞

b2

a

，
将b²=c²-a²，并化简整理，得2a²+ac-c²＞0，
两边都除以a²，整理得e²-e-2＜0，解之得-1＜e＜2，
由于e＞1，则1＜e＜2．
故选B．

点评：本题给出以双曲线通径为直径的圆，当左顶点在此圆外时求双曲线的离心率的范围，着重考查了双曲线的标准方程和简单几何性质等知识，属于中档题．