Question

如图，在直三梭柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=3，BC=2，CA=

5

，当AA₁为何值时，二面角A-BC-A₁为60°．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法

专题：空间角

分析：由勾股定理得AC⊥BC，由线面垂直得BC⊥CC₁，从而BC⊥平面ACC₁A₁，进而BC⊥AC₁，由此得∠ACA₁是二面角A-BC-A₁的平面角，由此能求出当AA₁为

15

时，二面角A-BC-A₁为60°．

解答： 解：∵AB=3，BC=2，CA=

5

，
∴AB²=BC²+CA²，∴AC⊥BC，
∵在直三梭柱ABC-A₁B₁C₁中，CC₁⊥平面ABC，
又BC?平面ABC，∴BC⊥CC₁，
又AC∩CC₁=C，∴BC⊥平面ACC₁A₁，
又A₁C?平面ACC₁A₁，∴BC⊥AC₁，
∴∠ACA₁是二面角A-BC-A₁的平面角，∴∠ACA₁=60°．
∵AA₁⊥平面ABC，CA=

5

，
∴tan∠ACA₁=tan60°=

AA1

CA

=

AA1

5

，
∴AA₁=

5

•tan60°=

15

．
∴当AA₁为

15

时，二面角A-BC-A₁为60°．

点评：本题考查满足条件的线段长的求法，涉及到勾股定理、线面垂直、二面角、三角函数等知识点的合理运用，是中档题．