Question

已知函数f（x）=2x-

5

x

（1）判断函数的奇偶性
（2）用单调性的定义证明函数f（x）=2x-

5

x

在（0，+∞）上单调递增．

Answer 1

考点：函数奇偶性的判断,函数单调性的判断与证明

专题：计算题,证明题,函数的性质及应用

分析：（1）求出定义域，判断是否关于原点对称，计算f（-x）与f（x）比较，即可得到奇偶性；
（2）运用单调性定义证明，注意取值，作差和变形、定符号及下结论，几个步骤．

解答： （1）解：定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，
f（-x）=-2x+

5

x

=-（2x-

5

x

）=-f（x），
则f（x）为奇函数；
（2）证明：设0＜m＜n，
则f（m）=2m-

5

m

-（2n-

5

n

）=2（m-n）+（

5

n

-

5

m

）
=2（m-n）+

5(m-n)

mn

=（m-n）•（2+

5

mn

），
由于0＜m＜n，则m-n＜0，mn＞0，
则f（m）-f（n）＜0，即f（m）＜f（n）．
则f（x）在（0，+∞）上单调递增．

点评：本题考查函数的奇偶性和单调性的判断和证明，考查定义法的运用，考查运算能力，属于基础题．