Question

已知函数f（x）=

1

x

-log₂

1+x

1-x

（1）求f（x）的定义域；
（2）判断并证明f（x）的奇偶性；
（3）求证：f（x）在（0，1）内是减函数，并求使关系式f（x）＜f(

1

2

)成立的实数x的取值范围．

Answer 1

考点：函数奇偶性的判断,函数的定义域及其求法

专题：计算题,证明题,函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：（1）由分母不为0，对数的真数大于0，解不等式即可得到定义域；
（2）判断定义域是否关于原点对称，计算f（-x），与f（x）比较，即可判断奇偶性；
（3）运用单调性的定义证明，注意作差、变形和定符号、及下结论几个步骤，再由单调性，解不等式即可得到所求范围．

解答： （1）解：由x≠0，且

1+x

1-x

＞0，
解得-1＜x＜1且x≠0，
则定义域为（-1，0）∪（0，1）；
（2）f（x）为奇函数，
理由如下：定义域关于原点对称，
f（-x）=-

1

x

-log₂

1-x

1+x

=-

1

x

+log₂

1+x

1-x

=-（

1

x

-log₂

1+x

1-x

）=-f（x），
则f（x）为奇函数；
（3）证明：设0＜m＜n＜1，
f（m）-f（n）=

1

m

-log₂

1+m

1-m

-（

1

n

-log₂

1+n

1-n

）=

n-m

mn

+log₂

1+n

1-n

-log₂

1+m

1-m

=

n-m

mn

+log₂

(1+n)(1-m)

(1-n)(1+m)

，
由于

(1+n)(1-m)

(1-n)(1+m)

-1=

2(n-m)

(1-n)(1+m)

，且0＜m＜n＜1，
则log₂

(1+n)(1-m)

(1-n)(1+m)

＞log₂1=0，

n-m

mn

＞0，
即有f（m）-f（n）＞0，即f（m）＞f（n），
则f（x）为（0，1）上的减函数．
由奇函数的性质可得f（x）在（-1，0）也为减函数．
由f（x）＜f(

1

2

)，则为0＜x＜1，且x＞

1

2

，
解得

1

2

＜x＜1，
则所求的取值范围是（

1

2

，1）．

点评：本题考查函数的奇偶性和单调性的判断和运用，考查运算能力，属于中档题．