Question

3．已知$cosα=\frac{1}{7}，cos（α+β）=-\frac{11}{14}$，且$α，β∈（0，\frac{π}{2}）$，则cosβ=（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $-\frac{1}{2}$
• C． $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
• D． $-\frac{{\sqrt{3}}}{2}$

Answer 1

分析 由已知利用同角三角函数基本关系式可求sinα，sin（α+β）的值，进而由β=（α+β）-α，利用两角差的余弦函数公式即可计算求值得解．

解答 解：∵$cosα=\frac{1}{7}，cos（α+β）=-\frac{11}{14}$，且$α，β∈（0，\frac{π}{2}）$，
∴α+β∈（0，π），
∴sinα=$\sqrt{1-co{s}^{2}α}$=$\frac{4\sqrt{3}}{7}$，sin（α+β）=$\sqrt{1-co{s}^{2}（α+β）}$=$\frac{5\sqrt{3}}{14}$，
∴cosβ=cos[（α+β）-α]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα=（-$\frac{11}{14}$）×$\frac{1}{7}$+$\frac{5\sqrt{3}}{14}$×$\frac{4\sqrt{3}}{7}$=$\frac{1}{2}$．
故选：A．

点评 本题主要考查了同角三角函数基本关系式，两角差的余弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．