Question

15．某县电视台决定于2015年元旦前夕举办“弘扬核心价值观，激情唱响中国梦”全县歌手大奖赛，比赛分初赛演唱部分和决赛问答题部分，各位选手的演唱部分成绩频率分布直方分布图（1）如图：已知某工厂的6名参赛人员的演唱成绩得分（满分10分）如茎叶图（2）（茎上的数字为整数部分，叶上的数字为小数部分）．
（1）根据频率分布直方分布图和茎叶图评估某工厂6名参赛人员的演唱部分的平均水平是否高于全部参赛人员的平均水平？（计算数据精确到小数点后三位数）
（2）已知初赛9.0分以上的选手才有资格参加决赛，问答题部分为5道题，选手对其依次回答，累计答对3题或答错3题即结束比赛，答对3题者直接获奖，已知该工厂参赛人员甲进入了决赛且答对每道题的概率为这6位中任意抽取2位演唱得分分差大于0.5的概率，且各题对错互不影响，设甲决赛获奖答题的个数为X，求X的分布列及X的数学期望．

Answer 1

分析 （1）利用概率和为1，求出a，即可得出结论；
（2）确定X的取值为3，4，5，求出相应的概率，即可求X的分布列及X的数学期望．

解答 解：（1）由题意（2a+0.25+0.375+0.5+0.625）×0.5=1，
∴a=0.125，（2分）
全部参赛人员的整体水平为（0.125×$\frac{7.0+7.5}{2}$+0.25×$\frac{7.5+8.0}{2}$+0.625×$\frac{8.0+8.5}{2}$+0.5×$\frac{8.5+9.0}{2}$+0.375×$\frac{9.0+9.5}{2}$+0.125×$\frac{9.5+10}{2}$）×0.5≈8.531．（4分）
根据茎叶图估计，中位数为8.85，数据集中在9.0以上，
所以某工厂的参赛6名人员的演唱水平显然高于全部参赛人员的平均水平．（5分）
（2）从这6位抽取2位的基本事件总数为C${\;}_{6}^{2}$，分差大于0.5的基本事件为除数据（8.6，8.7），（8.6，9.0），（9.2，9.6），（9.2，9.0），（8.7，9.0），（9.2，8.7）外的9个基本事件，故概率为P=$\frac{9}{{C}_{6}^{2}}$=$\frac{3}{5}$．（7分）
依题意，X的取值为3，4，5，则P（X=3）=$（\frac{3}{5}）^{3}+（\frac{2}{5}）^{2}$=$\frac{35}{125}$；
P（X=4）=${C}_{3}^{2}•（\frac{3}{5}）^{2}•\frac{2}{5}•\frac{3}{5}$+${C}_{3}^{2}•（\frac{2}{5}）^{2}•\frac{3}{5}•\frac{2}{5}$=$\frac{234}{2{5}^{2}}$；
P（X=5）=${C}_{4}^{2}•（\frac{3}{5}）^{2}•（\frac{2}{5}）^{2}•\frac{3}{5}$+${C}_{4}^{2}•（\frac{2}{5}）^{2}•（\frac{3}{5}）^{2}•\frac{2}{5}$=$\frac{216}{2{5}^{2}}$．（10分）

X	3	4	5
P	$\frac{35}{125}$	$\frac{234}{2{5}^{2}}$	$\frac{216}{2{5}^{2}}$

所以EX=3×$\frac{35}{125}+4×\frac{234}{2{5}^{2}}+5×\frac{216}{2{5}^{2}}$=$\frac{2541}{625}$．（12分）

点评 本题考查频率分布直方分布图，考查茎叶图，考查分布列与期望的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．