Question

12．数列{a_n}满足a₁=2，a_n=$\frac{{a}_{n+1}-1}{{a}_{n+1}+1}$，其前n项积为T_n，则T₂₀₁₈=-6．

Answer 1

分析 根据数列{a_n}满足a₁=2，a_n=$\frac{{a}_{n+1}-1}{{a}_{n+1}+1}$，可得数列{a_n}是周期为4的周期数列，且a₁a₂a₃a₄=1，即可得出结论．

解答 解：∵a_n=$\frac{{a}_{n+1}-1}{{a}_{n+1}+1}$，
∴a_n+1=$\frac{1+{a}_{n}}{1-{a}_{n}}$，
∵a₁=2，
∴a₂=-3，
a₃=-$\frac{1}{2}$，
a₄=$\frac{1}{3}$，
a₅=2，…，
∴数列{a_n}是周期为4的周期数列，且a₁a₂a₃a₄=1，
∵2018=4×504+2，
∴T₂₀₁₈=-6．
故答案为：-6．

点评 本题考查数列递推式，考查学生分析解决问题的能力，确定数列{a_n}是周期为4的周期数列，且a₁a₂a₃a₄=1是关键，是中档题．