Question

1．已知向量$\overrightarrow{m}$=（2sin（ωx+$\frac{π}{3}$），1），$\overrightarrow{n}$=（2cosωx，-$\sqrt{3}$）（ω＞0），函数f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$的两条相邻对称轴间的距离为$\frac{π}{2}$．
（1）求函数f（x）的单调递增区间；
（2）当x∈[-$\frac{5π}{6}$，$\frac{π}{12}$]时，求f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）根据平面向量的数量积计算f（x），利用最小正周期求出ω的值，写出f（x）的解析式，再求出f（x）的单调增区间；
（2）根据x的取值范围求出2x+$\frac{π}{3}$的取值范围，再求sin（2x+$\frac{π}{3}$）的取值范围即可．

解答 解：（1）∵向量$\overrightarrow{m}$=（2sin（ωx+$\frac{π}{3}$），1），$\overrightarrow{n}$=（2cosωx，-$\sqrt{3}$）（ω＞0），
∴f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$
=4sin（ωx+$\frac{π}{3}$）cosωx-$\sqrt{3}$
=2sinωxcosωx+2$\sqrt{3}$cos²ωx-$\sqrt{3}$
=sin2ωx+$\sqrt{3}$cos2ωx
=2sin（2ωx+$\frac{π}{3}$），
∴最小正周期为T=$\frac{2π}{2ω}$=π，
解得ω=1，
∴f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）；
由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
得kπ-$\frac{5π}{12}$≤x≤kπ+$\frac{π}{12}$，k∈Z，
∴f（x）的单调递增区间是[kπ-$\frac{5π}{12}$，kπ+$\frac{π}{12}$]，k∈Z，
（Ⅱ）∵x∈[-$\frac{5π}{6}$，$\frac{π}{12}$]，∴2x+$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{4π}{3}$，$\frac{π}{2}$]，
∴sin（2x+$\frac{π}{3}$）∈[-1，1]，
∴f（x）∈[-2，2]，
  即f（x）的值域是[-2，2]．

点评 本题考查了平面向量的数量积与正弦函数的单调性和最值的计算问题，是基础题目．