Question

13．（1）用分析法证明：$\sqrt{a}-\sqrt{a-1}＞\sqrt{a+2}-\sqrt{a+1}$（a＞1）
（2）用反证法证明：当a，b，c均为正数，$a+\frac{1}{b}，b+\frac{1}{c}，c+\frac{1}{a}$，三个数至少有一个不小于2．

Answer 1

分析 （1）利用分析法的语言，需证其充分条件成立，直至0＞-2显然成立，从而可知原结论成立．
（2）假设$a+\frac{1}{b}，b+\frac{1}{c}，c+\frac{1}{a}$都小于2，则a+$\frac{1}{b}$+b+$\frac{1}{c}$+c+$\frac{1}{a}$＜6．再结合基本不等式，引出矛盾，即可得出结论．

解答 证明：（1）∵a＞1，
要证：$\sqrt{a}-\sqrt{a-1}＞\sqrt{a+2}-\sqrt{a+1}$成立，
需证：$\sqrt{a}$+$\sqrt{a+1}$＞$\sqrt{a+2}$+$\sqrt{a-1}$成立，
即证：2a+1+2$\sqrt{a（a+1）}$＞2a+2+2$\sqrt{（a+2）（a-1）}$
即证：a²+a＞a²+a-2成立，
即证：0＞-2，该式显然成立，故原不等式成立．
（2）假设$a+\frac{1}{b}，b+\frac{1}{c}，c+\frac{1}{a}$都小于2，则a+$\frac{1}{b}$+b+$\frac{1}{c}$+c+$\frac{1}{a}$＜6．
∵a、b、c∈R⁺，
∴a+$\frac{1}{b}$+b+$\frac{1}{c}$+c+$\frac{1}{a}$=a+$\frac{1}{a}$+b+$\frac{1}{b}$+c≥+$\frac{1}{c}$2+2+2=6，矛盾．
∴$a+\frac{1}{b}，b+\frac{1}{c}，c+\frac{1}{a}$中至少有一个不小于2．

点评 本题考查不等式的证明，着重考查分析法、反证法的应用，考查推理能力，用反证法证明数学命题的方法和步骤，把要证的结论进行否定，得到要证的结论的反面，属于中档题．