Question

12．如图所示：在三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，AC⊥BC，O，Q分别为AB，PA的中点，G为△AOC的重心，AC=$\sqrt{3}$，∠ABC=30°
（1）证明：QG∥平面PBC
（2）三棱锥G-PBC的体积为$\frac{3}{4}$$\sqrt{3}$，求PA的长．

Answer 1

分析 （1）由O，Q分别为AB，PA的中点得OQ∥PB，再由G为△AOC的重心得QM∥PC，然后结合线面平行和面面平行的判定得答案；
（2）由已知求解直角三角形得△ABC的面积，设PA=a，
∵QG∥平面PBC，把三棱锥G-PBC的体积转化为Q-PBC的体积，进一步转化为P-ABC的体积列式求解PA的长．

解答 （1）证明：如图，
连接OQ，连接并延长OG交AC于点M，连接QM，
∵O，Q分别为AB，PA的中点，
∴OQ∥PB，则OQ∥平面PBC，
∵G为△AOC的重心，∴QM∥PC，则QM∥平面PBC，
又OQ∩QM=Q，∴平面PBC∥平面OQM，
∴QG∥平面PBC；
（2）解：∵AC⊥BC，∴△ACB为直角三角形，
又AC=$\sqrt{3}$，∠ABC=30°，则BC=3，
设PA=a，
∵QG∥平面PBC，
∴V_G-PBC=V_Q-PBC=V_C-QPB=$\frac{1}{2}{V}_{C-PAB}=\frac{1}{2}{V}_{P-ABC}$
=$\frac{1}{2}×\frac{1}{3}a×\frac{1}{2}×\sqrt{3}×3=\frac{3\sqrt{3}}{4}$．
解得：a=3．
∴PA的长是3．

点评 本题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力，是中档题．