Question

以下命题中，真命题有（　　）
①已知平面α、β和直线m，若m∥α且α⊥β，则m⊥β．
②“若x²＜1，则-1＜x＜1”的逆否命题是“若x＜-1或x＞1，则x²＞1”．
③已知△ABC，D为AB边上一点，若

AD

=2

DB

，

CD

=

1

3

CA

+λ

CB

，则λ=

2

3

．
④着实数x，y满足约束条件

x-y≤0 x+y-1≥0 x-2y+2≥0

，则z=2x-y的最大值为2．

• A、0个
• B、1个
• C、2个
• D、3个

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：简易逻辑

分析：对于①，由空间中的线面关系判断真假；
对于②，写出原命题的逆否命题判断真假；
对于③，通过画图把

CD

用

CA

与

CB

线性表示，则λ值可求；
对于④，由约束条件作出可行域，求得最优解的坐标，代入目标函数求得最大值．

解答：解：对于①，m∥α且α⊥β，则m与β的位置关系可能有如下几种情况：
m?β或m∥β或m与β相交．命题①是假命题；
对于②，“若x²＜1，则-1＜x＜1”的逆否命题是“若x≤-1或x≥1，则x²≥1”．
命题②是假命题；
对于③，如图，

∵

AD

=2

DB

，
∴

CD

=

CA

+

AD

=

CA

+

2

3

AB

=

CA

+

2

3

(

CB

-

CA

)=

1

3

CA

+

2

3

CB

，
又

CD

=

1

3

CA

+λ

CB

，
∴λ=

2

3

．命题③是真命题；
对于④，由约束条件

x-y≤0 x+y-1≥0 x-2y+2≥0

作可行域如图，

联立

x-y=0 x-2y+2=0

，解得A（2，2）．
∴z=2x-y的最大值为2．命题④是真命题．
∴真命题有2个．
故选：C．

点评：本题考查了命题的真假判断与应用，考查了平面向量的应用，训练了利用线性规划求目标函数的最值，是中档题．