Question

已知定义域为的函数同时满足以下三个条件：

①对任意的，总有；

②；

③当，且时，成立．

称这样的函数为“友谊函数”．

请解答下列各题：

(1)已知为“友谊函数”，求的值；

(2)函数在区间上是否为“友谊函数”？请给出理由；

(3)已知为“友谊函数”，假定存在，使得，且，求证：.

 

Answer 1

（1）；（2）在上为友谊函数；（3）证明过程见解析.

【解析】

试题分析：（1）赋值可考虑取，代入，可得，由已知，可得.

（2）要判断函数在区间上是否为“友谊函数，只要检验函数在上是否满足（1）；（2）；（3），且时，有即可．

（3）由，则，故有，即得结论成立；

(1)令，则．由③，得，即．又由①，得，所以.

(2) 是友谊函数．任取，，有．则．即．又，故在上为友谊函数．

(3)取，则．因此，．假设，若，则．若，则．都与题设矛盾，因此.

考点：函数恒成立问题.