Question

已知函数f（x）=ax²+bx+c满足：f（0）=0，对任意x∈R，都有f（x）≥x且f（x）的对称轴为x=-0.5，令g（x）=f（x）-|tx-1|（t＞0）．
（1）求函数f（x）的表达式；  
（2）当t=1时，求函数g（x）的最小值；
（3）求函数g（x）的单调区间．

Answer 1

考点：二次函数的性质,函数的最值及其几何意义

专题：函数的性质及应用

分析：（1）由f（0）=0，求出c，再由对任意x∈R，都有f（x）≥x恒成立，求出b，利用f（x）的对称轴为x=-0.5，求出a，由此能求出f（x）．
（2）由题设知g（x）=

x2+1，x≥1 x2+2x-1，x＜1

，分x≥1和x＜1两种情况进行讨论，能求出g（x）的最小值．
（3）g（x）=

x2+(1-t)x+1，x≥ 1 t x2+(1+t)x-1，x＜ 1 t

，分x≥

1

t

和x＜

1

t

两种情况进行分析讨论，能求出函数g（x）的单调区间．

解答： 解：（1）由f（0）=0，得c=0，
且对任意x∈R，都有f（x）≥x恒成立，
即ax²+（b-1）x≥0恒成立，…（2分）
可得b=1，又f（x）的对称轴为x=-0.5，
即-

b

2a

=-

1

2

，得a=1，
所以f（x）=x²+x．…（4分）
（2）g（x）=x²+x-|x-1|=

x2+1，x≥1 x2+2x-1，x＜1

，…（5分）
当x≥1时，g（x）的最小值为g（1）=2；
当x＜1时，g（x）的最小值为g（-1）=-2，
∴g（x）的最小值为-2．…（8分）
（3）g（x）=f（x）-|tx-1|=

x2+(1-t)x+1，x≥ 1 t x2+(1+t)x-1，x＜ 1 t

，…（9分）
①当x≥

1

t

时，g（x）的对称轴为x=

t-1

2

，

t-1

2

≤

1

t

，
即0＜t≤2时，g（x）在[

1

t

，+∞）上单调增，

t-1

2

＞

1

t

，即t＞2时，g（x）在（

t-1

2

，+∞）上单调增，
在（

1

t

，

t-1

2

）上单调减．…（11分）
②当x＜

1

t

时，g（x）的对称轴为x=-

t+1

2

，
因为t＞0，则-

t+1

2

＜

1

t

，
所以g（x）在（-

t+1

2

，

1

t

）上单调递增，
在（-∞，-

t+1

2

）上单调递减．…（13分）
综上所述：0＜t≤2时，g（x）在（-

t+1

2

，+∞）单调递增，在（-∞，-

t+1

2

）单调减；
t＞2时，g（x）在（-

t+1

2

，

1

t

），（

t-1

2

，+∞）单调递增，
在（-∞，-

t+1

2

），（

1

t

，

t-1

2

）单调递减．…（14分）

点评：本题考查函数的表达式的求法，考查函数的最小值的求法，考查函数单调区间的求法，解题时要注意分类讨论思想和等价转化思想的合理运用．