Question

16．已知双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0），A（0，-b），B（0，b），P为双曲线上的一点，且|AB|=|BP|，则双曲线离心率的取值范围是（　　）

• A． [$\sqrt{2}$，+∞）
• B． （1，$\frac{\sqrt{5}}{2}$]
• C． [$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$，+∞）
• D． [$\frac{\sqrt{10}+\sqrt{2}}{4}$，+∞）

Answer 1

分析 设P（m，n），即有$\frac{{m}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{n}^{2}}{{b}^{2}}$=1，运用两点的距离公式，可得2b=$\sqrt{{m}^{2}+（n-b）^{2}}$，转化为n的函数，由配方可得最小值，由离心率公式，解不等式可得e的范围．

解答 解：设P（m，n），即有$\frac{{m}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{n}^{2}}{{b}^{2}}$=1，
由|AB|=|BP|，可得2b=$\sqrt{{m}^{2}+（n-b）^{2}}$，
即有4b²=a²（1+$\frac{{n}^{2}}{{b}^{2}}$）+（n-b）²，
即为3b²-a²=$\frac{{c}^{2}}{{b}^{2}}$n²-2bn=$\frac{{c}^{2}}{{b}^{2}}$（n-$\frac{{b}^{3}}{{c}^{2}}$）²-$\frac{{b}^{4}}{{c}^{2}}$，
即有3b²-a²≥-$\frac{{b}^{4}}{{c}^{2}}$，
即为（3c²-4a²）c²+（c²-a²）²≥0，
化简可得4c⁴-6a²c²+a⁴≥0，
由e=$\frac{c}{a}$可得4e⁴-6e²+1≥0，（e＞1），
解得e²≥$\frac{3+\sqrt{5}}{4}$，即为e≥$\frac{\sqrt{10}+\sqrt{2}}{4}$．
故选：D．

点评 本题考查双曲线的离心率的范围，注意运用二次函数的最值的求法，考查化简整理的运算能力，属于中档题．