Question

11．已知P为椭圆$\frac{{y}^{2}}{8}$+$\frac{{x}^{2}}{2}$=1上一点，A、B分别为椭圆的上、下顶点，直线PA、PB分别与直线x=-2交于点C、D，O为坐标原点，则△OCD的面积的最小值为8-4$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 设P（$\sqrt{2}cosα$，2$\sqrt{2}sinα$），0≤α≤2π，A（0，2$\sqrt{2}$），B（0，-2$\sqrt{2}$），求出直线PA和直线PB，由直线PA、PB分别与直线x=-2交于点C、D，求出C（-2，$\frac{2\sqrt{2}cosα-4sinα+4}{cosα}$），D（-2，-$\frac{4sinα+2\sqrt{2}cosα+4}{cosα}$），由此能求出△OCD的面积的最小值．

解答 解：∵P为椭圆$\frac{{y}^{2}}{8}$+$\frac{{x}^{2}}{2}$=1上一点，A、B分别为椭圆的上、下顶点，
∴P（$\sqrt{2}cosα$，2$\sqrt{2}sinα$），0≤α≤2π，A（0，2$\sqrt{2}$），B（0，-2$\sqrt{2}$），
∴直线PA：$\frac{y-2\sqrt{2}}{x}=\frac{2\sqrt{2}（sinα-1）}{\sqrt{2}cosα}$，直线PB：$\frac{y+2\sqrt{2}}{x}$=$\frac{2\sqrt{2}（sinα+1）}{\sqrt{2}cosα}$，
∵直线PA、PB分别与直线x=-2交于点C、D，
∴C（-2，$\frac{2\sqrt{2}cosα-4sinα+4}{cosα}$），D（-2，-$\frac{4sinα+2\sqrt{2}cosα+4}{cosα}$），
∴△OCD的面积S=$\frac{1}{2}×2×$|$\frac{2\sqrt{2}cosα-4sinα+4}{cosα}$+$\frac{4sinα+2\sqrt{2}cosα+4}{cosα}$|=|4$\sqrt{2}$+$\frac{8}{cosα}$|，
∴当cosα=-1时，△OCD的面积的最小值为S_min=8-4$\sqrt{2}$．
故答案为：8-4$\sqrt{2}$．

点评 本题考查三角形面积的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆参数方程、直线方程、三角函数的性质的合理运用．