Question

8．已知函数f（x）=b•a^x（其中a，b为正实数且a≠1）的图象经过点A（1，27），B（-1，3）
（1）试求a、b的值；
（2）若不等式a^x+b^x≥m在x∈[1，+∞）时恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据点A、B在图象列出方程组，求出a、b的值；
（2）由（1）可得m≤3^x+9^x，令u（x）=3^x+9^x，由指数函数的单调性判断出函数u（x）在[1，+∞）上单调性，求出u（x）_min，由恒成立求出实数m的取值范围．

解答 解：（1）由已知可得，$\left\{\begin{array}{l}{b•a=27}\\{\frac{b}{a}=3}\end{array}\right.$，
解得a=3，b=9…（4分）
（2）由（1）可得m≤3^x+9^x，x∈[1，+∞），
令u=（x）3^x+9^x，x∈[1，+∞），只需m≤u_min…（6分），
因为函数u（x）=3^x+9^x在[1，+∞）为单调增函数，…（9分）
所以u（x）_min=12，
即实数m的取值范围是：{m|m≤12}．…（12分）

点评 本题考查待定系数法求函数的解析式，指数函数的单调性，以及恒成立问题的转化，属于中档题．