Question

1．已知函数f（x）=$\frac{2kx}{{x}^{2}+6k}$（k＞0）
（1）若f（x）＞m的解集为{x|x＜-3，或x＞-2}，求不等式5mx²+kx+3＞0的解集；
（2）若任意x≥3，使得f（x）＜1恒成立，求k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由题意可得mx²-2kx+6km＜0的解集为{x|x＜-3，或x＞-2}，可得-3，-2是方程mx²-2kx+6km=0的根，运用韦达定理可得k，m，再由二次不等式的解法可得解集；
（2）讨论x=3，不等式显然成立；当x＞3时，运用参数分离可得k＜$\frac{{x}^{2}}{2x-6}$恒成立，令g（x）=$\frac{{x}^{2}}{2x-6}$，x＞3，则k＜g（x）_min，运用换元法和基本不等式可得最小值，即可得到所求范围．

解答 解：（1）f（x）＞m?$\frac{2kx}{{x}^{2}+6k}$＞m?mx²-2kx+6km＜0，
由不等式mx²-2kx+6km＜0的解集为{x|x＜-3，或x＞-2}，
∴-3，-2是方程mx²-2kx+6km=0的根，
可得$\frac{2k}{m}$=-5，6k=-2×（-3），
解得k=1，m=-$\frac{2}{5}$，
不等式5mx²+kx+3＞0?2x²-x-3＜0?-1＜x＜$\frac{3}{2}$，
可得不等式5mx²+kx+3＞0的解集为（-1，$\frac{3}{2}$）；
（2）f（x）＜1?$\frac{2kx}{{x}^{2}+6k}$＜1?x²-2kx+6k＞0?（2x-6）k＜x²，
任意x≥3，使得f（x）＜1成立，x=3时，f（x）＜1恒成立；
当x＞3，使得k＜$\frac{{x}^{2}}{2x-6}$恒成立，
令g（x）=$\frac{{x}^{2}}{2x-6}$，x＞3，则k＜g（x）_min，
令2x-6=t，则t＞0，x=$\frac{t+6}{2}$，
y=$\frac{（\frac{t+6}{2}）^{2}}{t}$=$\frac{t}{4}$+$\frac{9}{t}$+3≥2$\sqrt{\frac{t}{4}•\frac{9}{t}}$+3=6，
当且仅当$\frac{t}{4}$=$\frac{9}{t}$即t=6即x=6时等号成立．
可得g（x）_min=g（6）=6，
则k＜6，
即k的取值范围为（0，6）．

点评 本题考查二次不等式的解法，注意运用二次方程的韦达定理，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用分类讨论思想方法和参数分离法、换元法，结合基本不等式的运用，考查运算能力，属于中档题．