Question

11．已知抛物线C：y²=4x，过点A（1，2）作抛物线的弦AP，AQ，若AP⊥AQ，证明：直线PQ过定点，并求出定点坐标．

Answer 1

分析 设直线PQ方程，代入抛物线方程，根据韦达定理及向量的坐标运算，求得P点坐标，即可求得n=-2m+1或n=2m+5，由△＞0求得n=2m+5，代入PQ方程，即可求得直线PQ过定点．

解答 解：设PQ：x=my+n，P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），$\left\{\begin{array}{l}x=my+n\\{y^2}=4x\end{array}\right.$，
∴y²-4my-4n=0，由△＞0恒成立得m²+n＞0恒成立，①
y₁+y₂=4m，y₁y₂=-4n，
又$\overrightarrow{AQ}•\overrightarrow{AP}=0$得（x₁-1）（x₂-1）+（y₁-2）（y₂-2）=0，
又${x_1}=\frac{y_1^2}{4}$，${x_2}=\frac{y_2^2}{4}$，得（y₁-2）（y₂-2）[（y₁+2）（y₂+2）+16]=0，
∴（y₁-2）（y₂-2）=0或（y₁+2）（y₂+2）+16=0，
∴n=-2m+1或n=2m+5，
由①知n=2m+5，
∴PQ：x-5=m（y+2），
所以直线PQ过定点（5，-2）．

点评 本题考查直线与抛物线的位置关系，韦达定理，向量数量积的坐标运算，考查计算能力，属于中档题．