Question

已知函数f（x）=|x+a|+|x﹣2|

（1）当a=﹣3时，求不等式f（x）≥3的解集；

（2）若f（x）≤|x﹣4|的解集包含[1，2]，求a的取值范围．

 

Answer 1

(1) {x|x≤1或x≥4}；(2) [﹣3，0]．

【解析】

试题分析：（1）将a=﹣3代入原式，零点分段讨论，即得解集；

(2) 原命题等价于|x+a|+2﹣x≤4﹣x在[1，2]上恒成立，等价于|x+a|≤2，等价于﹣2≤x+a≤2，﹣2﹣x≤a≤2﹣x在[1，2]上恒成立．进而可得到a的范围。

试题解析：（1）当a=﹣3时，f（x）≥3 即|x﹣3|+|x﹣2|≥3，即①，或②，或③．

解①可得x≤1，解②可得x∈∅，解③可得x≥4．

把①、②、③的解集取并集可得不等式的解集为 {x|x≤1或x≥4}．

（2）原命题即f（x）≤|x﹣4|在[1，2]上恒成立，等价于|x+a|+2﹣x≤4﹣x在[1，2]上恒成立，

等价于|x+a|≤2，等价于﹣2≤x+a≤2，﹣2﹣x≤a≤2﹣x在[1，2]上恒成立．

故当 1≤x≤2时，﹣2﹣x的最大值为﹣2﹣1=﹣3，2﹣x的最小值为0，

故a的取值范围为[﹣3，0]．

考点：不等式的综合考题.