Question

在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=3，BC=AA₁=4，点O是AC的中点．
（1）求证：AD₁∥平面DOC₁；
（2）求异面直线AD₁和DC₁所成角的余弦值．

Answer 1

分析：（1）连接CD₁交C₁D于点E，连接OE，由E是CD₁中点，O是AC中点，知OE∥AD₁，由此能证明AD₁∥平面DOC₁．
（2）连接BC₁，BD，由E是PC中点，知EG∥DP．在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，由AB∥A₁B₁∥C₁D₁，AB=A₁B₁=C₁D₁，知四边形ABC₁D₁是平行四边形，所以∠BC₁D或其补角为异面直线AD与C₁D所成的角，由此能求出异面直线AD₁与C₁D所成的角的余弦值．

解答：（1）证明：连接CD₁交C₁D于点E，连接OE
∵E是CD₁中点，O是AC中点∴OE∥AD₁
又∵OE?平面DOC₁，AD₁?平面DOC₁
∴AD₁∥平面DOC₁…（6分）
（2）解：连接BC₁，BD
∵E是PC中点∴EG∥DP在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB∥A₁B₁∥C₁D₁，AB=A₁B₁=C₁D₁
∴四边形ABC₁D₁是平行四边形
∴BC₁∥AD₁
∴∠BC₁D或其补角为异面直线AD与C₁D所成的角…（3分）
在△BC₁D中，BC₁=4

2

，C₁D=5，BD=5，
∴cos∠BC₁D=

2 2

5

，
∴异面直线AD₁与C₁D所成的角的余弦值为

2 2

5

．…（3分）

点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查异面直线所成角的余弦值的求法，解题时要认真审题，仔细解答．