Question

3．已知直线l：x-2y+2m-2=0．
（1）求过点（2，3）且与直线l垂直的直线的方程；
（2）若直线l与两坐标轴所围成的三角形的面积大于4，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由直线l：x-2y+2m-2=0的斜率为$\frac{1}{2}$，可得所求直线的斜率为-2，代入点斜式方程，可得答案；
（2）直线l与两坐标轴的交点分别为（-2m+2，0），（0，m-1），则所围成的三角形的面积为$\frac{1}{2}$×|-2m+2|×|m-1|，根据直线l与两坐标轴所围成的三角形的面积大于4，构造不等式，解得答案．

解答 解：（1）∵直线l：x-2y+2m-2=0的斜率为$\frac{1}{2}$，
∴与直线l垂直的直线的斜率为-2，…（2分）
因为点（2，3）在该直线上，
所以所求直线方程为y-3=-2（x-2），
故所求的直线方程为2x+y-7=0． …（6分）
（2）直线l与两坐标轴的交点分别为（-2m+2，0），（0，m-1），…（8分）
则所围成的三角形的面积为$\frac{1}{2}$×|-2m+2|×|m-1|．…（10分）
由题意可知$\frac{1}{2}$×|-2m+2|×|m-1|＞4，化简得（m-1）²＞4，…（12分）
解得m＞3或m＜-1，
所以实数m的取值范围是（-∞，-1）∪（3，+∞）．  …（14分）

点评 本题考查的知识点是直线的点斜式方程，直线与直线的交点，解不等式，是直线与不等式的综合应用，难度中档．