Question

14．三棱锥P-ABC的三条侧棱PA，PB，PC两两垂直，三个侧面的面积分别为1、2和4，则三棱锥P-ABC的体积为$\frac{4}{3}$．

Answer 1

分析 三棱锥P-ABC的三条侧棱PA、PB、PC两两互相垂直，三个侧面的面积分别为1、2和4，求出三条侧棱长，即可求出三棱锥P-ABC的体积．

解答 解：设PA=a，PB=b，PC=c，
∵三棱锥P-ABC的三条侧棱PA、PB、PC两两互相垂直，三个侧面的面积分别为1、2和4，
∴$\frac{1}{2}$ab=1，$\frac{1}{2}$bc=2，$\frac{1}{2}$ca=4，
解得，a=2，b=1，c=4．
∴三棱锥P-ABC的体积为$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×1×4$=$\frac{4}{3}$．
故答案为：$\frac{4}{3}$．

点评 本题考查三棱锥P-ABC的体积，考查空间想象能力，计算能力，是基础题．确定三条侧棱长是本题的关键．