Question

2．下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨标准煤）的几组对照数据

x	3	4	5	6
y	2.5	3	4	4.5

（1）请画出上表数据的散点图；
（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程$\widehat{y}$=bx+a；
$\left\{\begin{array}{l}{b=\frac{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}}=\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{{x}_{i}}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}}\\{a=\widehat{y}-b\overline{x}}\end{array}\right.$．

Answer 1

分析 （1）把所给的四对数据写成对应的点的坐标，在坐标系中描出来，得到散点图．
（2）根据所给的这组数据求出利用最小二乘法所需要的几个数据，代入求系数b的公式，求得结果，再把样本中心点代入，求出a的值，得到线性回归方程．

解答 解：（1）把所给的四对数据写成对应的点的坐标，在坐标系中描出来，得到散点图．

（2）由对照数据，计算得$\sum _{i=1}^{4}$x_i²=86，$\sum _{i=1}^{4}$x_iy_i=66.5，$\overline{x}$=4.5，$\overline{y}$=3.5，
∴回归方程的系数为b=$\frac{\sum _{i=1}^{4}{x}_{i}{y}_{i}-4\overline{x}\overline{y}}{\sum _{i=1}^{4}{{x}_{i}}^{2}-4{\overline{x}}^{2}}$=$\frac{66.5-4×4.5×3.5}{86-4×{4.5}^{2}}$=0.7，
a=$\overline{y}$-b$\overline{x}$=3.5-0.7×4.5=0.35，
∴所求线性回归方程为$\hat{y}$=0.7x+0.35

点评 本题考查线性回归方程，两个变量之间的关系，除了函数关系，还存在相关关系，通过建立回归直线方程，就可以根据其部分观测值，获得对这两个变量之间整体关系的了解．