Question

12．如图所示，一个圆形靶子的中心是一个“心形”图案，其中“心形”图案是由上边界C₁（虚线L上方部分）与下边界C₂（虚线L下方部分）围成，曲线C₁是函数y=$\sqrt{1-{x}^{2}}$+x${\;}^{\frac{4}{5}}$ 的图象，曲线C₂是函数y=-$\sqrt{1-{x}^{2}}$+x${\;}^{\frac{2}{7}}$ 的图象，圆的方程为x²+y²=8，某人向靶子射出一箭（假设此人此箭一定能射中靶子且射中靶中任何一点是等可能的），则此箭恰好命中“心形”图案的概率为（　　）

• A． $\frac{1}{4}$-$\frac{1}{18π}$
• B． $\frac{1}{16}$-$\frac{1}{18π}$
• C． $\frac{1}{8}$+$\frac{1}{18π}$
• D． $\frac{1}{8}$+$\frac{36}{35π}$

Answer 1

分析 根据图象的对称性求出当x＞0时的面积，利用积分的意义，求出对应区域的面积进行求解即可．

解答 解：由y=$\sqrt{1-{x}^{2}}$+x${\;}^{\frac{4}{5}}$=-$\sqrt{1-{x}^{2}}$+x${\;}^{\frac{2}{7}}$ 得x=1，
当x＞0时，y轴由此的面积S=${∫}_{0}^{1}$[$\sqrt{1-{x}^{2}}$+x${\;}^{\frac{4}{5}}$-（-$\sqrt{1-{x}^{2}}$+x${\;}^{\frac{2}{7}}$ ）]dx
=${∫}_{0}^{1}$（2$\sqrt{1-{x}^{2}}$+x${\;}^{\frac{4}{5}}$-x${\;}^{\frac{2}{7}}$ ）dx=2${∫}_{0}^{1}$$\sqrt{1-{x}^{2}}$dx+${∫}_{0}^{1}$（x${\;}^{\frac{4}{5}}$-x${\;}^{\frac{2}{7}}$ ）dx，
${∫}_{0}^{1}$$\sqrt{1-{x}^{2}}$dx的几何意义为$\frac{1}{4}$单位圆的面积，为$\frac{π}{4}$，
${∫}_{0}^{1}$（x${\;}^{\frac{4}{5}}$-x${\;}^{\frac{2}{7}}$ ）dx=（$\frac{5}{9}$x${\;}^{\frac{9}{5}}$-$\frac{7}{9}$x${\;}^{\frac{9}{7}}$）|${\;}_{0}^{1}$=$\frac{5}{9}$-$\frac{7}{9}$=-$\frac{2}{9}$，
则S=$\frac{π}{4}$-$\frac{2}{9}$，
故阴影部分的面积为S=2（$\frac{π}{4}$-$\frac{2}{9}$）=$\frac{π}{2}-\frac{4}{9}$，
大圆的面积S=π×8=8π，
故此箭恰好命中“心形”图案的概率P=$\frac{\frac{π}{2}-\frac{4}{9}}{8π}$=$\frac{1}{16}$-$\frac{1}{18π}$，
故选：B

点评 本题主要考查几何概型的概率的计算，根据条件结合积分的几何意义求出对应区域的面积是解决本题的关键．综合性较强．