Question

7．如图，甲船从A处以每小时30海里的速度沿正北方向航行，乙船在B处沿固定方向匀速航行，B在A北偏西105°方向用与B相距10$\sqrt{2}$ 海里处．当甲船航行20分钟到达C处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的D处，此时两船相距10海里．
（1）求乙船每小时航行多少海里？
（2）在C的北偏西30°方向且与C相距$\frac{8\sqrt{3}}{3}$海里处有一个暗礁E，周围$\sqrt{2}$海里范围内为航行危险区域．问：甲、乙两船按原航向和速度航行有无危险？若有危险，则从有危险开始，经过多少小时后能脱离危险？若无危险，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）连接AD，CD，推断出△ACD是等边三角形，在△ABD中，利用余弦定理求得BD的值，进而求得乙船的速度．
（2）建立如图所示的坐标系，危险区域在以E为圆心，r=$\sqrt{2}$的圆内，求出E到直线BD的距离，与半径比较，即可得出结论．

解答 解：如图，连接AD，CD，由题意CD=10，AC=$\frac{20}{60}×30$=10，∠ACD=60°
∴△ACD是等边三角形，
∴AD=10，
∵∠DAB=45°
△ABD中，BD=$\sqrt{A{D}^{2}+A{B}^{2}-2AB×AD×cos45°}$=10，
∴v=10×3=30海里．
答：乙船每小时航行30海里．
（2）建立如图所示的坐标系，危险区域在以E为圆心，r=$\sqrt{2}$的圆内，直线BD的方程为y=$\sqrt{3}$x，∠DAB=∠DBA=45°

E的坐标为（ABcos15°-CEsin30°，ABsin15°+CEcos30°+AC），
求得A（5$\sqrt{3}$+5，5$\sqrt{3}$-5），C（5$\sqrt{3}$+5，5$\sqrt{3}$+5），E（5+$\frac{11\sqrt{3}}{3}$，9+5$\sqrt{3}$），
E到直线BD的距离d₁=$\frac{|5\sqrt{3}+11-9-5\sqrt{3}|}{2}$=1＜$\sqrt{2}$，故乙船有危险；
点E到直线AC的距离d₂=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$＞$\sqrt{2}$，故甲船没有危险．
以E为圆心，半径为$\sqrt{2}$的圆截直线BD所得的弦长分别为l=2$\sqrt{{r}^{2}-{{d}_{1}}^{2}}$=2，
乙船遭遇危险持续时间为t=$\frac{2}{30}$=$\frac{1}{15}$（小时），
答：甲船没有危险，乙船有危险，且在遭遇危险持续时间$\frac{1}{15}$小时后能脱离危险．

点评 本题主要考查了解三角形的实际应用．要能综合运用余弦定理，正弦定理等基础知识，考查了综合分析问题和解决实际问题的能力．