Question

17．如图，在多面体ABCDEF中，BA⊥BE，BA⊥BC，BE⊥BC，AB∥EF，CD∥BE，AB=BE=2，BC=CD=EF=1，G在线段AB上，且BG=3GA．
（1）求证：CG∥平面ADF；
（2）求直线DE与平面ADF所成的角的正弦值；
（3）求锐二面角B-DF-A的余弦值．

Answer 1

分析 （1）分别取AB、AF中点M、H，连接FM、GH、DH，证明：四边形CDHG是平行四边形，可得CG∥DH，利用线面平行的判定定理证明CG∥平面ADF；
（2）建立空间直角坐标系，求出$\overrightarrow{DE}$、平面ADF的一个法向量，利用向量的夹角公式求直线DE与平面ADF所成的角的正弦值；
（3）求出平面BDF的一个法向量，利用向量的夹角公式求锐二面角B-DF-A的余弦值．

解答 （1）证明：分别取AB、AF中点M、H，连接FM、GH、DH，则有AG=GM，MF∥BE，
∵AH=HF，∴GH∥$\frac{1}{2}$MF，
又∵CD∥$\frac{1}{2}$BE，BE∥MF，
∴CD∥GH，
∴四边形CDHG是平行四边形，
∴CG∥DH，
又∵CG?平面ADF，DH?平面ADF，
∴CG∥平面ADF；…（4分）
（2）解：如图，以B为原点，分别以BC、BE、BA所直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系O-xyz，
则A（0，0，2），C（1，0，0），D（1，1，0），E（0，2，0），F（0，2，1），$\overrightarrow{DE}$=（-1，1，0），
$\overrightarrow{DA}$=（-1，-1，2），$\overrightarrow{FA}$=（0，-2，1）；
设平面ADF的一个法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），则有
$\overrightarrow{n}$•$\overrightarrow{DA}$=-x-y+2z=0且$\overrightarrow{n}$•$\overrightarrow{FA}$=（=-2y+z=0，
解得：x=3y，z=2y，
令y=1得：$\overrightarrow{n}$=（3，1，2），
设直线DE与平面ADF所成的角为θ，则有sinθ=|$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DE}}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{DE}|}$|=$\frac{\sqrt{7}}{7}$．
所以直线DE与平面ADF所成的角的正弦值为$\frac{\sqrt{7}}{7}$ …（8分）
（3）解：由已知平面ADF的法向量$\overrightarrow{m}$=（3，1，2），$\overrightarrow{BF}$=（0，2，1），
设平面BDF的一个法向量为$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），$\overrightarrow{BD}$=（1，1，0），
由$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{BF}$=2y+z=0且$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{BD}$=x+y=0   解得：z=-2y，x=-y；
令y=-1得：$\overrightarrow{m}$=（1，-1，2），
设锐二面角B-DF-A的平面角为α，
则cosα=|cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞|=$\frac{6}{\sqrt{14}•\sqrt{6}}$=$\frac{\sqrt{21}}{7}$，
所以锐二面角B-DF-A的余弦值为$\frac{\sqrt{21}}{7}$．…（12分）

点评 本题考查线面平行的判定，直线与平面所成的角，锐二面角B-DF-A的余弦值，考查学生分析解决问题的能力，正确求出平面的法向量是关键．