Question

11．某种产品的广告费支出x（单位：百万元）与销售额y（单位：百万元）之间有如下对应数据：

x	2	4	5	6	8
y	30	40	60	50	70

$\widehatb=\frac{{\sum_{i=1}^n{（{x_i}-\overline x）（{y_i}-\overline y）}}}{{\sum_{i=1}^n{{{（{x_i}-\overline x）}^2}}}}$，$\widehata=\overline y-\widehatb\overline x$
（1）求y关于x的回归直线方程．
（2）预测广告费支出为10（单位：百万元）时，销售额为多少？

Answer 1

分析 （1）先求得广告费支出x和销售额y的平均数，求得样本中心点，利用最小二乘法即可求得线性回归方程的系数$\widehat{b}$，代入样本中心点求得a，即可求得y关于x的回归直线方程；
（2）将x=10，代入线性回归方程，即可求得销售额．

解答 解：（1）由$\overline{x}$=$\frac{2+4+5+6+8}{5}$=5，$\overline{y}$=$\frac{30+40+60+50+70}{5}$=50，
$\sum_{i=1}^{5}$y_ix_i=2×30+4×40+5×60+6×50+8×70=1380，5$\overline{x}$$\overline{y}$=5×5×50=1250，
$\sum_{i=1}^{5}$${x}_{i}^{2}$=4+16+25+36+64=145，5${\overline{x}}^{2}$=5×25=125，
$\widehat{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}•\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$=$\frac{1380-1250}{145-125}$=6.5，
$\widehata=\overline y-\widehatb\overline x$=50-6.5×5=17.5，
∴线性回归方程：$\widehat{y}$=6.5x+17.5；
（2）当广告费支出为10（百万元）时，
$\widehat{y}$=6.5×10+17.5=82.5万元．

点评 本题考查线性回归方程的求法及应用，考查利用最小二乘法求线性回归方程的系数，考查计算能力，属于中档题．