Question

15．已知函数f（x）=$\frac{{x}^{2}}{ax+b}$，（a、b为常数），且函数g（x）=f（x）-x+12有两个零点x₁=3，x₂=4．
（I）求函数f（x）的解析式；
（II）若k≥2，解关于x 的不等式f（x）＜$\frac{（k+1）x-k}{2-x}$．

Answer 1

分析 （I）求函数f（x）的解析式；
（II）化简不等式f（x）＜$\frac{（k+1）x-k}{2-x}$．通过k 的值的讨论，利用不等式的解法求解即可．

解答 解：（I）把x₁=3，x₂=（4分）别代入方程$\frac{{x}^{2}}{ax+b}$-x+12=0，
得$\left\{\begin{array}{l}\frac{9}{3a+b}=-9\\ \frac{16}{4a+b}=-8\end{array}$解得$\left\{\begin{array}{l}a=-1\\ b=2\end{array}$，
所以f（x）=$\frac{{x}^{2}}{-x+2}$（x≠2）；
（II）不等式即为$\frac{{x}^{2}}{-x+2}$＜$\frac{（k+1）x-k}{2-x}$．可化为$\frac{{x}^{2}-（k+1）x+k}{2-x}$＜0，
即（x-2）（x-1）（x-k）＞0，
当k=2时，不等式为（x-2）²（x-1）＞0解集为（1，2 ）∪（2，+∞），
当k＞2 时，由穿根法解得解集为（1，2 ）∪（k，+∞）．

点评 本题考查函数与方程的应用，函数的零点判定定理的应用，不等式的解法，考查计算能力．