Question

4．底面为正三角形的直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的各棱长都为1，M，N分别为CC₁，BB₁的中点，则点N到面A₁BM的距离为$\frac{\sqrt{2}}{4}$．

Answer 1

分析 如图所示，取B₁C₁的中点O为坐标原点，A₁O所在直线为x轴，B₁C₁所在直线为y轴，建立空间直角坐标系．设平面A₁BM的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{A}_{1}B}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BM}=0}\end{array}\right.$，可得$\overrightarrow{n}$，利用d=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BN}|}{|\overrightarrow{n}|}$，即可得出．

解答 解：如图所示，取B₁C₁的中点O为坐标原点，A₁O所在直线为x轴，B₁C₁所在直线为y轴，建立空间直角坐标系．
O（0，0，0），B$（0，-\frac{1}{2}，1）$，A₁$（-\frac{\sqrt{3}}{2}，0，0）$，M$（0，\frac{1}{2}，\frac{1}{2}）$，N$（0，-\frac{1}{2}，\frac{1}{2}）$．
$\overrightarrow{BN}$=$（0，0，-\frac{1}{2}）$，$\overrightarrow{{A}_{1}B}$=$（\frac{\sqrt{3}}{2}，-\frac{1}{2}，1）$，$\overrightarrow{BM}$=$（0，1，-\frac{1}{2}）$．
设平面A₁BM的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{A}_{1}B}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BM}=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{\frac{\sqrt{3}}{2}x-\frac{1}{2}y+z=0}\\{y-\frac{1}{2}z=0}\end{array}\right.$，
取$\overrightarrow{n}$=$（-\sqrt{3}，1，2）$．
则点N到面A₁BM的距离d=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BN}|}{|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{\sqrt{（-\sqrt{3}）^{2}+{1}^{2}+{2}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{2}}{4}$．

点评 本题考查了空间位置关系、数量积运算性质、点到平面的距离公式，考查了空间想象能力、推理能力与计算能力，属于中档题．