Question

19．已知函数f（x）=$\sqrt{6}sin\frac{x}{2}cos\frac{x}{2}-\sqrt{2}{cos^2}\frac{x}{2}$．
（1）将函数f（x）化简成$Asin（ωx+φ）+B（其中A＞0，ω＞0，|φ|＜\frac{π}{2}）$的形式；
（2）求f（x）的单调递增区间；
（3）求函数f（x）在$[\frac{π}{2}，π]$上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）利用二倍角公式和降次公式以及辅助角公式化简可得$Asin（ωx+φ）+B（其中A＞0，ω＞0，|φ|＜\frac{π}{2}）$的形式；
（2）根据三角函数的性质求解单调递增区间；
（3）x在$[\frac{π}{2}，π]$上，求出内层函数的范围，结合三角函数的性质最大值和最小值．

解答 解：（1）函数f（x）=$\sqrt{6}sin\frac{x}{2}cos\frac{x}{2}-\sqrt{2}{cos^2}\frac{x}{2}$．
化简可得：f（x）=$\frac{\sqrt{6}}{2}$sinx-$\sqrt{2}$（$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}$cosx）=$\frac{\sqrt{6}}{2}$sinx-$\frac{\sqrt{2}}{2}$cosx-$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\sqrt{2}$sin（x-$\frac{π}{6}$）$-\frac{\sqrt{2}}{2}$
（2）由$2kπ-\frac{π}{2}≤x-\frac{π}{6}≤2kπ+\frac{π}{2}$，k∈Z，
可得：$2kπ-\frac{π}{3}$≤x≤$2kπ+\frac{2π}{3}$，
∴f（x）的单调递增区间为[$2kπ-\frac{π}{3}$，$2kπ+\frac{2π}{3}$]
（3）∵x∈$[\frac{π}{2}，π]$上，
∴x-$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{5π}{6}$]，
∴当x-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$时，函数f（x）取得最大值为$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
当x-$\frac{π}{6}$=$\frac{5π}{6}$时，函数f（x）取得最小值为0．

点评 本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键