Question

16．（1）若关于x的不等式|x-3|+|x+2|≤|2a+1|的解集不是空集，试求a的取值范围；
（2）已知关于x的不等式|x-a|≤4的解集为[-1，7]，且两正数s和t满足2s+t=a，求证：$\frac{1}{s}+\frac{8}{t}≥6$．

Answer 1

分析 （1）根据绝对值不等式的性质求出|x-3|+|x+2|的最小值，各个关于a的不等式，解出即可；
（2）求出|x-a|≤4的解集，根据对应关系求出a，根据基本不等式的性质证明即可．

解答 解：（1）|x-3|+|x+2|≥|x-3-x-2|=5，
若|x-3|+|x+2|≤|2a+1|的解集不是空集，
责任|2a+1|≥5，解得：a≥2或a≤-3，
即a∈（-∞，-3]∪[2，+∞）；
（2）不等式|x-a|≤4的解集为[a-4，a+4]=[-1，7]，∴a=3，
∴$\frac{1}{s}$+$\frac{8}{t}$=$\frac{1}{3}$（$\frac{1}{s}$+$\frac{8}{t}$）（2s+t）=$\frac{1}{3}$（10+$\frac{t}{s}$+$\frac{16s}{t}$ ）≥6，
当且仅当s=$\frac{1}{2}$，t=2时取等号．

点评 本题考查了解绝对值不等式问题，考查不等式的性质以及转化思想，是一道中档题．