Question

6．数列{a_n}满足a₁=1，$\sqrt{{{a}_{n}}^{2}+2}$=a_n+1（n∈N⁺）．
（1）求证：数列{a_n²}是等差数列，并求出{a_n}的通项公式；
（2）若b_n=$\frac{2}{{a}_{n}+{a}_{n+1}}$，求数列{b_n}的前n项和．

Answer 1

分析 （1）由$\sqrt{{{a}_{n}}^{2}+2}$=a_n+1（n∈N⁺），平方可得：${a}_{n+1}^{2}$-${a}_{n}^{2}$=2，且${a}_{1}^{2}$=1．即可证明结论．
（2）b_n=$\frac{2}{{a}_{n}+{a}_{n+1}}$=$\frac{2}{\sqrt{2n-1}+\sqrt{2n+1}}$=$\sqrt{2n+1}-\sqrt{2n-1}$，利用裂项求和方法即可得出．

解答 （1）证明：由$\sqrt{{{a}_{n}}^{2}+2}$=a_n+1（n∈N⁺），平方可得：${a}_{n+1}^{2}$-${a}_{n}^{2}$=2，且${a}_{1}^{2}$=1．
∴数列{a_n²}是等差数列，首项为1，公差为2．
∴${a}_{n}^{2}$=1+2（n-1）=2n-1．
∴a_n=$\sqrt{2n-1}$．
（2）解：b_n=$\frac{2}{{a}_{n}+{a}_{n+1}}$=$\frac{2}{\sqrt{2n-1}+\sqrt{2n+1}}$=$\sqrt{2n+1}-\sqrt{2n-1}$，
∴数列{b_n}的前n项和=$（\sqrt{3}-1）$+$（\sqrt{5}-\sqrt{3}）$+…+$（\sqrt{2n+1}-\sqrt{2n-1}）$=$\sqrt{2n+1}$-1．

点评 本题考查了数列递推关系、等差数列的定义与通项公式、裂项求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．