Question

【题目】对于给定的正整数k，若正项数列满足，对任意的正整数n（）总成立，则称数列是“数列”.

（1）证明：若是正项等比数列，则是“数列”；

（2）已知正项数列既是“数列”，又是“数列”，

①证明：是等比数列；

②若，，且存在，使得为数列中的项，求q的值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）①证明见解析②

【解析】

（1）是各项均为正数的等比数列，设公比为q，则，得到答案.

（2）①，，，，变换得到，得到证明.

②，根据题意存在，使得，即，讨论和，两种情况，分别计算得到答案.

（1）是“数列”，理由如下：

因为是各项均为正数的等比数列，不妨设公比为q.

当时，有.

所以是“数列”.

（2）①因为既是“数列”，又是“数列”，

所以，，①，，.②

出①得，，，③，，.④

③④②得，，.

因为数列各项均为正数，所以，.

所以数列从第3项起成等比数列，不妨设公比为.

①中，令得，，所以.

①中，令得，，所以.

所以数列是公比为的等比数列.

②由①知，是等比数列，又因为，则公比为q，故，

所以存在，使得为数列中的项，

即存在，使得，

即，也即（*），

因为，若，（*）式不成立；

则，故，因为，，故，

若，（*）式不成立；

若，则符合题意；

若，则，（*）式不成立；

所以.