Question

5．（1）已知函数f（x）=x²-（2a+1）x+alnx．当a=2时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）已知函数f（x）=$\frac{1}{2}$x³-$\frac{3}{2}$x，求过点（2，1）且与函数f（x）图象相切的切线方程．

Answer 1

分析 （1）求得a=2的函数f（x）的导数，可得切线的斜率和切点，运用点斜式方程，可得切线的方程；
（2）设切点为（m，n），求得f（x）的导数，由点在曲线f（x）上，以及直线的斜率公式，计算即可得到所求切点的横坐标，由点斜式方程可得切线的方程．

解答 解：（1）当a=2时，f（x）=x²-5x+2lnx的导数为f′（x）=2x-5+$\frac{2}{x}$，
可得曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为k=2-5+2=-1，
切点为（1，-4），
可得曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y+4=-（x-1），
即为直线y=-x-3；
（2）设切点为（m，n），
f（x）=$\frac{1}{2}$x³-$\frac{3}{2}$x的导数为f′（x）=$\frac{3}{2}$x²-$\frac{3}{2}$，
则n=$\frac{1}{2}$m³-$\frac{3}{2}$m，$\frac{3}{2}$m²-$\frac{3}{2}$=$\frac{n-1}{m-2}$，
化为m³-3m²+4=0，
即为（m³+1）-3（m²-1）=0，
即有（m+1）（m-2）²=0，
解得m=-1或2，
可得切线的斜率为0或$\frac{9}{2}$，
即有切线的方程为y=1或y-1=$\frac{9}{2}$（x-2），
即为y=1或9x-2y-16=0．

点评 本题考查导数的运用：求切线的方程，考查导数的几何意义，注意区分在某点处的切线和过某点的切线，考查化简整理的运算能力，属于中档题．