Question

16．已知a，b，c是锐角△ABC三个内角A，B，C的对边，$\overrightarrow{p}$=（a+c，b-c），$\overrightarrow{q}$=（b，a-c），$\overrightarrow{p}$∥$\overrightarrow{q}$．
（Ⅰ）求A；
（Ⅱ）若a=2，求b-c的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知，利用向量共线的性质可得（a+c）（a-c）=b（b-c），整理可得：b²+c²-a²=bc，由余弦定理可得cosA=$\frac{1}{2}$，结合A的范围即可得解A的值．
（Ⅱ）由已知及正弦定理可得：$\frac{2}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=$\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}$，从而利用三角函数恒等变换的应用可得b-c=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$（sinB-sinC）=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$sin（B-$\frac{π}{3}$），结合范围B-$\frac{π}{3}$∈（-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{6}$），利用正弦函数的性质即可得解．

解答 解：（Ⅰ）∵$\overrightarrow{p}$=（a+c，b-c），$\overrightarrow{q}$=（b，a-c），$\overrightarrow{p}$∥$\overrightarrow{q}$．
∴（a+c）（a-c）=b（b-c），整理可得：b²+c²-a²=bc，
∴由余弦定理可得：cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{bc}{2bc}$=$\frac{1}{2}$，
∵A∈（0，π），
∴A=$\frac{π}{3}$．
（Ⅱ）∵a=2，A=$\frac{π}{3}$，
∴由正弦定理可得：$\frac{2}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=$\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}$，
∴b-c=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$（sinB-sinC）=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$[sinB-sin（$\frac{2π}{3}$-B）]=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$[sinB-$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosB-$\frac{1}{2}$sinB]=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$[$\frac{1}{2}$sinB-$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosB]=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$sin（B-$\frac{π}{3}$），
∵B∈（0，$\frac{π}{2}$），B-$\frac{π}{3}$∈（-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{6}$），可得：sin（B-$\frac{π}{3}$）∈（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$），
∴b-c=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$sin（B-$\frac{π}{3}$）∈（-2，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）．

点评 本题主要考查了平面向量共线的性质，余弦定理，正弦定理，三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．