Question

已知函数f(x)=

2x-x2(0＜x≤3) x2+6x(-2＜x≤0) - 4x x+1 (-∞＜x≤-2)

．
（1）作出f（x）的图象；
（2）求f（x）的值域；
（3）求f（x）＜0时的x取值集合；
（4）讨论方程f（x）=b解的个数．

Answer 1

（1）函数的f(x)=

2x-x2(0＜x≤3) x2+6x(-2＜x≤0) - 4x x+1 (-∞＜x≤-2)

的图象如下图所示：

（2）由（1）中函数图象可得：
函数的f(x)=

2x-x2(0＜x≤3) x2+6x(-2＜x≤0) - 4x x+1 (-∞＜x≤-2)

的值域为：[-8，1]

（3）由（1）中函数图象可得：
当x＜0或2＜x≤3时，f（x）＜0
故f（x）＜0时的x取值集合为：（-∞，0）∪（2，3]

（4）当b＜-8时，函数图象与直线y=b无交点，此时方程f（x）=b无解；
当b=-8时，函数图象与直线y=b有一个交点，此时方程f（x）=b有一个解；
当-8＜b＜-4时，函数图象与直线y=b有两个交点，此时方程f（x）=b有两个解；
当b=-4时，函数图象与直线y=b无交点，此时方程f（x）=b无解；
当-4＜b＜-3时，函数图象与直线y=b有一个交点，此时方程f（x）=b有一个解；
当-3≤b＜1时，函数图象与直线y=b有两个交点，此时方程f（x）=b有两个解；
当b=1时，函数图象与直线y=b有一个交点，此时方程f（x）=b有一个解；
当b＞1时，函数图象与直线y=b无交点，此时方程f（x）=b无解．