Question

下列说法正确的个数为（　　）
①“x＞y”是“lgx＞lgy”的充要条件；
②“a＞b”是“ac²＞bc²”的必要不充分条件；
③“k=

3

”是“直线y=kx+2与圆x²+y²=1相切”的充分不必要条件；
④“α＞β”是“sinα＞sinβ”既不充分又不必要条件．

• A、3 个
• B、4 个
• C、1 个
• D、2个

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：简易逻辑

分析：①，令x=1，y=0，满足x＞y，但lg0无意义，可判断①；
②，a＞b，c=0，不能⇒ac²＞bc²，可判断②；
③，利用圆心到直线的距离d与该圆的半径1的关系可判断“k=

3

”是“直线y=kx+2与圆x²+y²=1相切”的充分不必要条件，可判断③；
④，举例如

2π

3

＞

π

2

，但sin

2π

3

＜sin

π

2

不充分成立，sin

π

2

＞sin

2π

3

，不能⇒

π

2

＞

2π

3

，可判断④．

解答： 解：对于①，“x＞y”不能⇒“lgx＞lgy”，如x=1，y=0，满足x＞y，但lg0无意义，故充分性不成立，故①错误；
对于②，a＞b，c=0，不能⇒ac²＞bc²，即充分性不成立；反之，则可，即必要性成立；
所以“a＞b”是“ac²＞bc²”的必要不充分条件，故②正确；
对于③，因为圆x²+y²=1的圆心（0，0）到直线y=

3

x+2的距离d=

|0× 3 -0+2|

( 3 )2+(-1)2

=1，
所以直线y=

3

x+2与圆x²+y²=1相切，即充分性成立；由于直线y=

3

x+2过定点A（0，2），该定点A在圆x²+y²=1之外，过点A的与该圆的切线应有两条，其斜率分别为±

3

，故必要性不成立，
所以“k=

3

”是“直线y=kx+2与圆x²+y²=1相切”的充分不必要条件，即③正确；
对于④，α＞β不能⇒sinα＞sinβ，如

2π

3

＞

π

2

，但sin

2π

3

＜sin

π

2

，充分性不成立，反之，sin

π

2

＞sin

2π

3

，不能⇒

π

2

＞

2π

3

，即必要性也不成立，
所以“α＞β”是“sinα＞sinβ”既不充分又不必要条件，故④正确．
综上所述，说法正确的个数为3个，
故选：A．

点评：本题考查命题的真假判断与应用，着重考查充分必要条件的概念及应用，考查不等式的性质、直线与圆的位置关系及三角函数的应用，属于中档题．