Question

7．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=ta_n-t，n∈N^*，t∈R．
（Ⅰ）若数列{a_n}为等比数列，求t的取值范围和此时数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若t=2，且2^b_n=a_2n-1，证明：{b_n}为等差数列，并求数列{a_nb_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （I）利用递推式与等比数列的通项公式即可得出；
（II）利用（I）可得b_n，再利用“错位相减法”、等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 （Ⅰ）解：（ⅰ）当n=1时，由S_n=ta_n-t，①，得a₁=S₁=ta₁-t，
由数列{a_n}为等比数列，知t≠1且t≠0，此时${a_1}=\frac{t}{t-1}$，
（ⅱ）当n≥2时，S_n-1=ta_n-1-t，②，①-②得：S_n-S_n-1=t（a_n-a_n-1）=a_n，
即（t-1）a_n=ta_n-1，∵t≠1且t≠0，
∴${a_n}=\frac{t}{t-1}{a_{n-1}}$，结合${a_1}=\frac{t}{t-1}$，知等比数列{a_n}的通项公式为${a_n}={（\frac{t}{t-1}）^n}$，t的取值范围是t≠1且t≠0．
（Ⅱ）证明：当t=2时，由（Ⅰ）得${a_n}={2^n}$，∴${2^{b_n}}={a_{2n-1}}={2^{2n-1}}$，得b_n=2n-1，
从而b_n+1-b_n=2，即数列{b_n}是公差为2的等差数列，
∴${a_n}{b_n}=（2n-1）{2^n}$，
${T_n}=1×2+3×{2^2}+5×{2^3}+…+（2n-1）{2^n}$③
$2{T_n}=1×{2^2}+3×{2^3}+5×{2^4}+…+（2n-1）{2^{n+1}}$④
③-④得$-{T_n}=2+{2^3}+{2^4}+…+{2^{n+1}}-（2n-1）{2^{n+1}}=2+\frac{{{2^3}（1-{2^{n-1}}）}}{1-2}-（2n-1）{2^{n+1}}$，
整理得${T_n}=（2n-3）{2^{n+1}}+6$．

点评 本题考查了递推式的应用、等比数列的通项公式及其前n项和公式、“错位相减法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．