【题目】已知四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD为平行四边形,点M,N,Q分别在PA,BD,PD上.
(1)若PM:MA=BN:ND=PQ:QD,求证:平面MNQ∥平面PBC.
(2)若Q满足PQ:QD=2,则M点满足什么条件时,BM∥面AQC.
【答案】(1)证明见解析(2)M为PA的中点
【解析】
利用线面平行的判定定理证明MQ∥平面PBC, QN∥平面PBC,然后面面平行的判定定理即可证明;
连接AC,交BD于O,连接OQ,取PQ的中点G,连接BG,利用线面平行的判定定理可证BG∥平面AQC,取PA的中点M,连接GM,同理可证, GM∥平面AQC,再由面面平行的判定定理证明平面BGM∥平面AQC,再由面面平行的性质即可得证.
(1)证明:∵PM:MA=PQ:QD.
∴QM∥AD,∵AD∥BC,∴QM∥BC,
∵ 平面PBC,BC平面PBC,
∴MQ∥平面PBC,
∵BN:ND=PQ:QD.∴QN∥PB,
平面,平面,
QN∥平面PBC,
∵QM∩QN=Q,∴平面MNQ∥平面PBC;
(2)当M点为PA的中点时,BM∥面AQC
证明如下:连接AC,交BD于O,连接OQ,
取PQ的中点G,连接BG,则BG∥OQ,
∵OQ平面AQC,BG平面AQC,∴BG∥平面AQC,
取PA的中点M,连接GM,则GM∥AQ,
∵AQ平面AQC,GM平面AQC,∴GM∥平面AQC,
又BG∩GM=G,∴平面BGM∥平面AQC,
则BM∥面AQC,此时M为PA的中点.
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【题目】如图,点M在椭圆1(0<b)上,且位于第一象限,F1,F2为椭圆的两个焦点,过F1,F2,M的圆与y轴交于点P,Q(P在Q的上方),|OP||OQ|=1.
(Ⅰ)求b的值;
(Ⅱ)直线PM与直线x=2交于点N,试问,在x轴上是否存在定点T,使得为定值?若存在,求出点T的坐标与该定值;若不存在,请说明理由.
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【题目】某品牌经销商在一广场随机采访男性和女性用户各50名,其中每天玩微信超过6小时的用户列为“微信控”,否则称其为“非微信控”,调查结果如下:
微信控 | 非微信控 | 合计 | |
男性 | 26 | 24 | 50 |
女性 | 30 | 20 | 50 |
合计 | 56 | 44 | 100 |
(1)根据以上数据,能否有95%的把握认为“微信控”与“性别”有关?
(2)现从调查的女性用户中按分层抽样的方法选出5人,求所抽取的5人中“微信控”和“非微信控”的人数;
(3)从(2)中抽取的5位女性中,再随机抽取3人赠送礼品,试求抽取3人中恰有2人位“微信控”的概率.
参考公式: ,其中.
参考数据:
0.50 | 0.40 | 0.25 | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | |
0.455 | 0.708 | 1.323 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 |
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【题目】已知两点分别在轴和轴上运动,且,若动点满足.
(1)求出动点P的轨迹对应曲线C的标准方程;
(2)一条纵截距为2的直线与曲线C交于P,Q两点,若以PQ直径的圆恰过原点,求出直线方程.
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【题目】在平面直角坐标系中,以为极点,轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线的极坐标方程为;直线的参数方程为(为参数),直线与曲线分别交于,两点.
(1)写出曲线的直角坐标方程和直线的普通方程;
(2)若点的极坐标为,,求的值.
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【题目】如图,在四棱锥E-ABCD中,AE⊥DE,CD⊥平面ADE,AB⊥平面ADE,CD=DA=6,AB=2,DE=3.
(I)求棱锥C-ADE的体积;
(II)求证:平面ACE⊥平面CDE;
(III)在线段DE上是否存在一点F,使AF∥平面BCE?若存在,求出的值;若不存在,说明理由.
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【题目】5张奖券中有2张是中奖的,先由甲抽1张,然后由乙抽1张,抽后不放回,求:
(1)甲中奖的概率;
(2)甲、乙都中奖的概率;
(3)只有乙中奖的概率;
(4)乙中奖的概率.
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